Arquímedes y el número Pi

Arquímedes y el número π

Los geómetras habían constatado, desde muy antiguo, que la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro se mantenía constante, independientemente del tamaño de la misma. A ese número, que muchos siglos más tarde se demostró era irracional, le llamaron π (pi). Una primera referencia de su valor viene dada por la siguiente cita bíblica: "Hizo el Mar de metal fundido que tenía diez codos de borde a borde; era enteramente redondo y de cinco codos de altura; y ceñido todo alrededor de un cordón de treinta codos" (I Reyes 7,23). 

Traducido al lenguaje algebraico:

π=CD=3010$$\pi =\frac{C}{D}=\frac{30}{10}$$

donde C es la circunferencia y D el diámetro.

En el papiro de Rhind, los egipcios dieron como valor del número π la siguiente aproximación:

π=(43)3=25681=3,1604938$$\pi ={\left(\frac{4}{3}\right)}^3=\frac{256}{81}=3,1604938$$

Fue Arquímedes el primero que científicamente calculó el número π por aproximaciones sucesivas utilizando un método geométrico, dando como valor:

22371<π<22070$$\frac{223}{71}<\pi <\frac{220}{70}$$

es decir

3,140845<π<3,142857$$3,140845<\pi <3,142857$$

Como hemos visto Arquímedes dio unas aproximaciones de π, tanto por exceso como por defecto. Para ello uso un método de calcular perímetros de polígonos inscritos y circunscritos a una circunferencia, y al dividirlos por el diámetro obtenía aproximaciones sucesivas del número π del siguiente modo:

πn=PnD$${\pi }_n=\frac{P_n}{D}$$

donde P es el perímetro del polígono asociado a la circunferencia de diámetro D.

Arquímedes utilizó polígonos de 6, 12, 24, 48 y 96 lados. Nosotros vamos a seguir un método muy parecido utilizando sólo los polígonos inscritos (aproximaciones por defecto), pero partiendo del cuadrado y duplicando también los lados de los polígonos inscritos. Desgraciadamente Arquímedes no tenía ordenador como nosotros, que nos permite hacer cálculos con mucha facilidad pudiendo llegar a polígonos de muchos más lados y dar una aproximación mejor. Para facilitar los cálculos vamos a tomar una circunferencia de radio unidad.

Observa en la figura, que hemos llamado a₁ al lado del cuadrado inscrito y a₂ al del octógono regular, entonces ¿cuánto vale a_n? Por trigonometría podemos deducir que:

a1=2⋅sin(45)$$a_1=2\cdot \sin (45)$$

a2=2⋅sin(452)$$a_2=2\cdot \sin (\frac{45}{2})$$

…$$\dots$$

an=2⋅sin(452n−1)$$a_n=2\cdot \sin (\frac{45}{2^{n-1}})$$

Por otro lado el perímetro de los sucesivos polígonos inscritos se puede calcular como:

P1=4⋅a1$$P_1=4\cdot a_1$$

P2=8⋅a2$$P_2=8\cdot a_2$$

…$$\dots$$

Pn=2n+1⋅an$$P_n=2^{n+1}\cdot a_n$$

Teniendo en cuenta que la circunferencia tiene un diámetro D = 2, podemos afirmar que la siguiente expresión es una aproximación por defecto del número π:

π=limn→∞PnD=limn→∞[2n+1⋅sin(452n−1)]$$\pi =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{P_n}{D}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left[2^{n+1}\cdot \sin \left(\frac{45}{2^{n-1}}\right)\right]$$

La tabla muestra la sucesivas aproximaciones del número π. Como se puede ver, con sólo 10 iteraciones (que corresponde con un polígono de 512 lados) conseguimos 5 cifras significativas.

Richard Feynman

Richard Phillips Feynman,  ( 11 mayo 1918 - 15 febrero 1988) fue un físico teórico estadounidense conocido por su trabajo en la formulación integral de la trayectoria de la mecánica cuántica, la teoría de la electrodinámica cuántica y la física de la superfluidez del helio líquido subenfriado, así como en la física de partículas para el que propuso el modelo Parton. Por sus contribuciones al desarrollo de la electrodinámica cuántica, Feynman, en forma conjunta con Julian Schwinger y Sin-Itiro Tomonaga, recibió el Premio Nobel de Física en 1965. Desarrolló un esquema de representación pictórica ampliamente utilizada para las expresiones matemáticas que rigen el comportamiento de las partículas subatómicas, que más tarde se conoció como los diagramas de Feynman. Durante su vida, Feynman se convirtió en uno de los científicos más conocidos en el mundo. En una encuesta de 1999 de la revista británica "Physics World", de los 130 principales físicos de todo el mundo citados, Feynman fue clasificado como uno de los diez más grandes físicos de todos los tiempos.

Ayudó en el desarrollo de la bomba atómica durante la Segunda Guerra Mundial y se hizo conocido para un amplio público en la década de 1980 como miembro de la Comisión Rogers, el grupo que investigó el desastre del transbordador espacial Challenger. Además de su trabajo en física teórica, Feynman investigó con pioneros en el campo de la computación cuántica, e introdujo el concepto de nanotecnología. Ocupó la cátedra de Richard Chace Tolman en física teórica en el Instituto de Tecnología de California.

Feynman fue un divulgador entusiasta de la física a través de libros y conferencias, incluyendo una charla de 1959 sobre nanotecnología de arriba hacia abajo llamada “There's Plenty of Room at the Bottom” (Hay mucho sitio al fondo), y la publicación de tres volúmenes de sus conferencias de pre-grado, The Feynman Lectures on Physics. Feynman también se dio a conocer a través de sus libros semi-autobiográficos “Surely You're Joking, Mr. Feynman!(”¿Está usted de broma, Sr. Feynman?) y “What Do You Care What Other People Think?” (¿Qué te importa lo que otros piensan?) y los libros escritos sobre él , como “Tuva or Bust!” y “Genius: The Life and Science of Richard Feynman by James Gleick”.

Atomium

El Atomium es una estructura de 102 metros de altura construida para la Exposición General de primera categoría de Bruselas de 1958. Representa un cristal de hierro ampliado 165 mil millones de veces. Está formado por nueve esferas de acero de 18 metros de diámetro. Está ubicado en el parque de Heysel.

Levantado con ocasión de la Feria Mundial de 1958, celebrada en Bruselas, el Atomium se ha convertido en un auténtico símbolo de la capital de Bélgica. Realizada en acero y aluminio, el conjunto representa un cristal de hierro.

La estructura, diseñada por el arquitecto André Waterkeyn, fue planeada para permanecer seis meses; sin embargo rápidamente se convirtió en una atracción turística.

A partir de febrero de 2004, fue reacondicionado por el estudio de Christine Conix, obra que incluye el diseño exterior e interior del pabellón y de la explanada en diferentes etapas . La intervención obtiene el primer premio en la categoría renovación del Staalbouwwedstrijd (Infosteel) y es nominada al Leaf Awards (Leading European Architect Forum) en 2006, además de la selección final del Prize for Architecture Brussels – Horta en 2008. El presupuesto estimado para la ampliación del Atomium en 2010 por Conix Architects ascendía a más de 3 millones de euros. . El Atomium abrió nuevamente, totalmente renovado, el 18 de febrero de 2006. En su interior se incluyó un elevador que lleva a la cima a una velocidad de 5 m/s.

Tres de las cuatro esferas superiores carecen de soporte vertical y por lo tanto no están abiertas al público por razones de seguridad, por otra parte, la esfera en la cima está abierta al público. El diseño original contemplaba el átomo sin soportes, la estructura era simplemente para descansar en las esferas. Las pruebas en túnel de viento demostraron que la estructura se habría derrumbado con 80 km/h de viento (se han registrado vientos de 140 km/h en Bélgica). Para lograr una resistencia suficiente contra los vuelcos se añadieron unas columnas de soporte.