William Herschel

William Herschel, nacido Friedrich Wilhelm Herschel (Hannover, Brunswick-Luneburgo, Sacro Imperio Romano Germánico, 15 de noviembre de 1738-Slough, Berkshire, Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda, 25 de agosto de 1822), fue un astrónomo y músico germano-británico, descubridor del planeta Urano y de otros numerosos objetos celestes, y padre del también astrónomo John Herschel.

Ávido de conocimientos y dotado de una gran habilidad manual, Herschel comenzó desde el principio a calcular, diseñar y construir sus propios telescopios. Menos de un año después de haber comprado el libro de Ferguson, Herschel calculaba y pulía ya los más perfectos y poderosos espejos de todo el mundo, porque comprendió enseguida que el futuro dependía de los telescopios reflectores y no de los refractores.

Mientras construía los instrumentos observaba los cielos. En fecha tan temprana como febrero de 1774 ya había observado la nebulosa de Orión, descubierta en 1610.

El 13 de marzo de 1781 Herschel observó un objeto no registrado que a primera vista parecía un cometa: estudiándolo con todo cuidado pronto consiguió determinar que en realidad se trataba de un nuevo planeta, Urano.

Urano (foto del Voyager 2, NASA).

Herschel había descubierto el objeto probando su recién construido telescopio reflector de 152 mm. Lo había apuntado a la constelación de Géminis y había observado una estrella que no se suponía que estuviese allí. A la potencia de su instrumento, parecía poseer un disco planetario (de allí la confusión con un cometa). Brillaba con un color amarillo y se desplazaba lentamente.

Observándolo noche tras noche, Herschel llegó a la conclusión de que había descubierto el séptimo planeta del sistema solar. Pidió a otros astrónomos que confirmaran su diagnóstico, y todos estuvieron de acuerdo con él: existía un nuevo planeta situado al doble de la distancia de Saturno.

Arquímedes y el número Pi

Arquímedes y el número π

Los geómetras habían constatado, desde muy antiguo, que la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro se mantenía constante, independientemente del tamaño de la misma. A ese número, que muchos siglos más tarde se demostró era irracional, le llamaron π (pi). Una primera referencia de su valor viene dada por la siguiente cita bíblica: "Hizo el Mar de metal fundido que tenía diez codos de borde a borde; era enteramente redondo y de cinco codos de altura; y ceñido todo alrededor de un cordón de treinta codos" (I Reyes 7,23). 

Traducido al lenguaje algebraico:

π=CD=3010$$\pi =\frac{C}{D}=\frac{30}{10}$$

donde C es la circunferencia y D el diámetro.

En el papiro de Rhind, los egipcios dieron como valor del número π la siguiente aproximación:

π=(43)3=25681=3,1604938$$\pi ={\left(\frac{4}{3}\right)}^3=\frac{256}{81}=3,1604938$$

Fue Arquímedes el primero que científicamente calculó el número π por aproximaciones sucesivas utilizando un método geométrico, dando como valor:

22371<π<22070$$\frac{223}{71}<\pi <\frac{220}{70}$$

es decir

3,140845<π<3,142857$$3,140845<\pi <3,142857$$

Como hemos visto Arquímedes dio unas aproximaciones de π, tanto por exceso como por defecto. Para ello uso un método de calcular perímetros de polígonos inscritos y circunscritos a una circunferencia, y al dividirlos por el diámetro obtenía aproximaciones sucesivas del número π del siguiente modo:

πn=PnD$${\pi }_n=\frac{P_n}{D}$$

donde P es el perímetro del polígono asociado a la circunferencia de diámetro D.

Arquímedes utilizó polígonos de 6, 12, 24, 48 y 96 lados. Nosotros vamos a seguir un método muy parecido utilizando sólo los polígonos inscritos (aproximaciones por defecto), pero partiendo del cuadrado y duplicando también los lados de los polígonos inscritos. Desgraciadamente Arquímedes no tenía ordenador como nosotros, que nos permite hacer cálculos con mucha facilidad pudiendo llegar a polígonos de muchos más lados y dar una aproximación mejor. Para facilitar los cálculos vamos a tomar una circunferencia de radio unidad.

Observa en la figura, que hemos llamado a₁ al lado del cuadrado inscrito y a₂ al del octógono regular, entonces ¿cuánto vale a_n? Por trigonometría podemos deducir que:

a1=2⋅sin(45)$$a_1=2\cdot \sin (45)$$

a2=2⋅sin(452)$$a_2=2\cdot \sin (\frac{45}{2})$$

…$$\dots$$

an=2⋅sin(452n−1)$$a_n=2\cdot \sin (\frac{45}{2^{n-1}})$$

Por otro lado el perímetro de los sucesivos polígonos inscritos se puede calcular como:

P1=4⋅a1$$P_1=4\cdot a_1$$

P2=8⋅a2$$P_2=8\cdot a_2$$

…$$\dots$$

Pn=2n+1⋅an$$P_n=2^{n+1}\cdot a_n$$

Teniendo en cuenta que la circunferencia tiene un diámetro D = 2, podemos afirmar que la siguiente expresión es una aproximación por defecto del número π:

π=limn→∞PnD=limn→∞[2n+1⋅sin(452n−1)]$$\pi =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{P_n}{D}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left[2^{n+1}\cdot \sin \left(\frac{45}{2^{n-1}}\right)\right]$$

La tabla muestra la sucesivas aproximaciones del número π. Como se puede ver, con sólo 10 iteraciones (que corresponde con un polígono de 512 lados) conseguimos 5 cifras significativas.